Dreiecksverteilung
Die Dreiecksverteilung (oder Simpsonverteilung, nach Thomas Simpson) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet wird.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Dreiecksverteilung ist definiert durch die auf dem Intervall definierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Hierbei bestimmen die Parameter (minimaler Wert), (maximaler Wert) und (wahrscheinlichster Wert) die Gestalt der Dreiecksverteilung ( und ). Der Graph der Dichtefunktion sieht wie ein Dreieck aus und gibt dieser Verteilung ihren Namen. Die -Achse zeigt die Dichte der jeweiligen Wahrscheinlichkeit für einen Wert .
Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Verteilungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Verteilungsfunktion ist
Die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion lautet
Erwartungswert und Median[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Erwartungswert einer dreiecksverteilten Zufallsvariable ist
Für ist der Median gegeben durch
- . Für diesen Fall ist der Median kleiner als der Erwartungswert; d. h. die Verteilung ist rechtsschief im Sinne von Pearson.
Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Varianz einer dreiecksverteilten Zufallsvariable ergibt sich zu
Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Summe gleichverteilter Zufallsgrößen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Summe zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt mit , Standardabweichung , mittlerer absoluter Abweichung und Interquartilsabstand .
Betrag der Differenz gleichverteilter Zufallsgrößen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Betrag der Differenz zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt mit .
Trapezverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Dreiecksverteilung ist ein Spezialfall der Trapezverteilung.
Diskrete Dreiecksverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die stetige Dreiecksverteilung kann als Grenzwert einer diskreten Dreiecksverteilung aufgefasst werden.
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Norman L. Johnson, Samuel Kotz: Non-Smooth Sailing or Triangular Distributions Revisited after Some 50 Years. In: The Statistician, Vol. 48, No. 2 (1999), S. 179–187
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Eric W. Weisstein: Triangular Distribution. In: MathWorld (englisch).